二重积分的概念

（定义） 设 $f(x,y)$ 是平面有界闭区域 $D$ 上的有界函数. 将区域 $D$ 任意分割成 $n$ 个小的闭区域 $\Delta \sigma _{1},\Delta \sigma _{2},\cdots,\Delta \sigma _{1},$ 其中 $\Delta \sigma _{i}$ 表示第 $i\ \ (i=1,2,\cdots,n)$ 个小区域，也表示它的面积，任意两个小区域 $\Delta \sigma _{i}$ 与 $\Delta \sigma _{j} \ (i\not=j)$ 除了边界外无公共点. 任取一点 $(\xi_{i},\eta_{i})\in\Delta\sigma_{i}$ ，作和式
$$\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i},\eta_{i})\Delta\sigma_{i}$$
以 $d_{i}$ 表示 $\Delta\sigma_{i}$ 的直径，$d=\underset{1\leqslant i\leqslant n}{\max} \left\{ d_{i} \right\}.$ 如果当 $d\rightarrow 0$ 时，和的极限
$$\lim_{d \to 0} \sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i},\eta_{i})\Delta\sigma_{i}$$
存在，并且这个极限与区域的分割方法及点 $(\xi_{i},\eta_{i})$ 的取法无关，则称函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上是可积的，并称此极限为函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的二重积分，记作
$$\underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma=\lim_{d \to 0} \sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i},\eta_{i})\Delta\sigma_{i}$$
其中，$d\sigma$ 为面积元素，$x,y$ 为积分变量。

在直角坐标系中，面积元素 $d\sigma =dxdy$

二重积分的几何意义

二重积分 $\displaystyle \underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma$ 在数值上恰好是以曲面 $z=f(x,y)$ 为曲顶，以区域 $D$ 为底的曲顶柱体的体积。

二重积分可积性的充分条件

（定理）如果函数 $f(x,y)$ 在 有界闭区域 或 有限个分片有界闭区域 上连续，则该函数在该区域上可积。

（记号）$f(x,y)$ 在 区域$D$ 上黎曼可积记作：$f\in R(D)$

二重积分的一些性质

从定义上来看，二重积分与定积分在本质上是相同的，差异仅在于被积函数的元素个数和积分范围的维数。
因此，二重积分与定积分有着类似的性质。
以下性质的前提都是函数可积。

线性性质

$$\underset{D}{\iint}[f(x,y)\pm g(x,y)]d\sigma=\underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma \pm \underset{D}{\iint}g(x,y)d\sigma$$
更一般地，
$$\underset{D}{\iint} \left[ \sum_{i=1}^{n} k_{i}f_{i}(x,y) \right]d\sigma =\sum_{i=1}^{n} k_{i}\underset{D}{\iint} f_{i}(x,y) d\sigma$$

区间可加性

设有界闭区域 $D$ 可以分解为 $D_{1}\cup D_{2}$，其中 $D_{1},D_{2}$ 均为闭区域且除边界外无公共点. 则有
$$\underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma =\underset{D_{1}}{\iint}f(x,y)d\sigma+\underset{D_{2}}{\iint}f(x,y)d\sigma$$

面积

若 $\sigma$ 是有界闭区域 $D$ 的面积，则
$$\underset{D}{\iint}d\sigma = \sigma$$

保序性

若 $f(x,y)\leqslant g(x,y)$，则
$$\underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma\leqslant \underset{D}{\iint}g(x,y)d\sigma$$

我们还可以得到严格的顺序比较：在上述条件下，若 $f,g\in R(D)$ 且 $f,g \not\equiv 0$，则 $$\underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma < \underset{D}{\iint}g(x,y)d\sigma$$

令$f,g$ 其中一个为0，得到保号性：

  1. 若 $f(x,y)\geqslant 0$，则 $\displaystyle \underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma \geqslant 0.$

  2. 若 $f(x,y)\in C(D),\ f(x,y)\geqslant 0,\ f(x,y)\not\equiv 0$，则 $\displaystyle \underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma > 0.$

    注意：$f(x,y)$ 一定需要连续。即：$f(x,y)\in C(D)$
  3. 更特殊地，若 $f(x,y)\in C(D),\ f(x,y)>0$，则 $\displaystyle \underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma > 0.$

绝对值不等式

由保序性，$-|f(x,y)|\leqslant f(x,y)\leqslant |f(x,y)|$，从而
$$\left| \underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma \right|\leqslant \underset{D}{\iint}\left| f(x,y) \right| d\sigma$$

估值定理

设 $M,m$ 分别是 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的最大值和最小值，当 $\sigma$ 是 $D$ 的面积时，有不等式
$$m\sigma \leqslant \underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma \leqslant M\sigma$$

由保序性易证。

二重积分的中值定理

设函数 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，$\sigma$ 是 $D$ 的面积，则存在 $(\xi,\eta \in D)$ ，使得
$$\underset{D}{\iint} f(x,y)d\sigma =f(\xi,\eta) \sigma$$

对称定理

  1. 若区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称，并且 $f(-x,y)=-f(x,y)$，即 $f$ 关于 $x$ 是奇函数，则 $$\underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma=0$$
  2. 若区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称，并且 $f(-x,y)=f(x,y)$，即 $f$ 关于 $x$ 是偶函数，则 $$\underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma=2\underset{D_{1}}{\iint}f(x,y)d\sigma$$ 其中，$D_{1}$ 为 $D$ 在右半平面的部分。
  3. 若区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，并且 $f(x,-y)=-f(x,y)$，即 $f$ 关于 $y$ 是奇函数，则 $$\underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma=0$$
  4. 若区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，并且 $f(x,-y)=f(x,y)$，即 $f$ 关于 $y$ 是偶函数，则 $$\underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma=2\underset{D_{1}}{\iint}f(x,y)d\sigma$$ 其中，$D_{1}$ 为 $D$ 在上半平面的部分。

  5. 若区域 $D$ 关于 $x，y$ 轴对称，并且 $f(-x,y)=f(x,y),f(x,-y)=f(x,y)$，即 $f$ 分别关于 $x,y$ 是偶函数，则 $$\underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma=4\underset{D_{1}}{\iint}f(x,y)d\sigma$$ 其中，$D_{1}$ 为 $D$ 在第一象限的部分。

    若 $f$ 关于 $x,y$ 中的任何一个为奇函数，则 $$\underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma=0$$
  6. 若区域 $D$ 关于原点（旋转 $\pi$ 后重合）对称，且 $f(-x,-y)=-f(x,y)$，即 $f$ 关于 $x,y$ 整体为奇函数，则 $$\underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma=0$$
  7. 若区域 $D$ 关于原点对称，且 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 关于原点对称，$D=D_{1}\cup D_{2}$，且 $f(-x,-y)=f(x,y)$，则$$\underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma=2\underset{D_{1}}{\iint}f(x,y)d\sigma$$

  8. 若区域 $D$ 关于直线 $y=x$ 对称，则 $$\underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma=\underset{D}{\iint}f(y,x)d\sigma$$

    常见应用：若区域 $D$ 关于直线 $y=x$ 对称，则 $$\begin{aligned} & \underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma=\underset{D}{\iint}f(y,x)d\sigma\\\ &=\frac{1}{2}\left[\underset{D}{\iint}f(x,y)d\sigma+\underset{D}{\iint}f(y,x)d\sigma\right]\\\ &=\frac{1}{2}\underset{D}{\iint}\left[f(x,y)+f(y,x)\right]d\sigma\end{aligned}$$

总结

本文主要介绍了二重积分的概念、几何意义与一些性质。其中，对称定理往往是填空选择题的易考点。