积分限为常数的含参变量的积分

当 $f(x,y)\in C(D),\ D=\{(x,y)|a\leqslant x\leqslant b,c\leqslant y\leqslant d\}$ 时，对任意 $y\in [c,d]$，定积分
$$I(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)dx\tag{1}$$
存在，积分值 $I(y)$ 随 $y$ 的不同而变化，即 $(1)$ 式确定了自变量为 y 的函数 $I(y)$，将此积分称为含参变量 $y$ 的积分.
同样，对任意的 $x\in [a,b]$，定积分
$$J(x)=\int_{c}^{d}f(x,y)dy\tag{2}$$
确定了自变量为 $x$ 的函数，称为含参变量 $x$ 的积分.

（定理）若 $f(x,y)\in C(D),$ 则
$$I(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)dx\tag{3}$$
在 $[c,d]$ 上连续.

于是，$\displaystyle\lim_{y\to y_{0}}I(y)=I(y_{0})$ 相当于
$$\lim_{y\to y_{0}}\int_{a}^{b}f(x,y)dx=\int_{a}^{b}f(x,y_{0})dx=\int_{a}^{b}\lim_{y\to y_{0}}f(x,y)dx\tag{4}$$
即，极限与积分可以换序。

（定理）若 $f(x,y),f_{y}(x,y)\in C(D),$ 则
$$I(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)dx\tag{5}$$
在 $[c,d]$ 上有连续的导数，并且
$$I'(y)\equiv \frac{d}{dy}\int_{a}^{b}f(x,y)dx=\int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)dx.\tag{6}$$

（定理）若 $f(x,y)\in C(D)$，则对于 $\forall u\in[c,d],$ 有
$$\int_{c}^{u}dy\int_{a}^{b}f(x,y)dx=\int_{a}^{b}dx\int_{c}^{u}f(x,y)dy\tag{7}$$
成立.
即，当 $f(x,y)$ 连续时，累次积分可以交换次序.

积分限含参的含参变量的积分

（定理）若 $f(x,y)\in C(D),a(y),b(y)$ 在 $[c,d]$ 上连续，且 $a\leqslant a(y) \leqslant b,a\leqslant b(y) \leqslant b$，则
$$F(y)=\int_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)dx\tag{8}$$
在 $[c,d]$ 上连续.

（定理）若 $f(x,y),f_{y}(x,y)\in C(D),a(y),b(y)$ 均在 $[c,d]$ 上可导，且 $a\leqslant a(y) \leqslant b,a\leqslant b(y) \leqslant b$，则
$$F(y)=\int_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)dx\tag{9}$$
在 $[c,d]$ 上可导，并且有 $\text{Leibniz}$ 公式
$$F'(y)=\int_{a(y)}^{b(y)}f_{y}(x,y)dx+f(b(y),y)b'(y)-f(a(y),y)a'(y)\tag{10}$$

含参变量无穷积分的一致收敛性

设二元函数 $f(x,y)$ 在 $D=\{(x,y)|a\leqslant x<+\infty,c\leqslant y \leqslant d\}$ 上有定义. 若对任意的 $y\in[c,d]$，无穷积分
$$\int_{a}^{+\infty}f(x,y)dx=\lim_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x,y)dx\tag{11}$$
收敛，则称该含参变量的无穷积分在 $[c,d]$ 上收敛。

（定义）设二元函数 $f(x,y)$ 在 $D=\{(x,y)|a\leqslant x<+\infty,c\leqslant y \leqslant d\}$ 上有定义，且 $\int_{a}^{+\infty}f(x,y)dx$ 在 $[c,d]$ 上收敛. 如果对于 $\forall\varepsilon >0$，总存在一个仅与 $\varepsilon$ 有关，而与 $y$ 无关的 $X\geqslant a$，使得当 $A>X$ 时，$\forall y\in[c,d]$ 均有
$$\left|\int_{A}^{+\infty}f(x,y)dx\right|<\varepsilon,\tag{12}$$
则称 $\int_{a}^{+\infty}f(x,y)dx$ 关于 $y$ 在 $[c,d]$ 上一致收敛.

下面介绍一个关于一致收敛性的充分判别法.

（定理）（M-判别法）
设 $f(x,y)\in C(D). \text{if}\ \exists M>0$，当$x>M$ 时，对 $\forall y\in[c,d]$，均有
$$|f(x,y)|\leqslant G(x),\tag{13}$$
而无穷积分 $\displaystyle\int_{a}^{+\infty}G(x)dx$ 收敛，则 $\displaystyle\int_{a}^{+\infty}f(x,y)dx$ 关于 $y$ 在 $[c,d]$ 上一致收敛.

分析性质

（定理）
若 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，且
$$F(y)=\displaystyle\int_{a}^{+\infty}f(x,y)dx\tag{14}$$
关于 $y$ 在 $[c,d]$ 上一致收敛，则

  1. $F(y)$ 在 $[c,d]$ 上连续；
  2. $\displaystyle\int_{c}^{d}dy\int_{a}^{+\infty}f(x,y)dx=\int_{a}^{+\infty}dx\int_{c}^{d}f(x,y)dy$

（定理）
若 $f(x,y)$ 与 $f_{y}(x,y)$ 均在 $D$ 上连续，且
$$F(y)=\displaystyle\int_{a}^{+\infty}f(x,y)dx\tag{15}$$
在 $[c,d]$ 上收敛，$\displaystyle\int_{a}^{+\infty}f_{y}(x,y)dx$ 关于 $y$ 在 $[c,d]$ 上一致收敛，则 $F(y)$ 在 $[c,d]$ 上有连续的导数，且求导与积分可以交换顺序，即
$$F'(y)\equiv\frac{d}{dy}\int_{a}^{+\infty}f(x,y)dx=\int_{a}^{+\infty}f_{y}(x,y)dx\tag{16}$$

$\Gamma$ 函数（第二类 $\text{Euler}$ 积分）

对于含参变量 $s$ 的积分
$$\Gamma(s)=\int_{0}^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx\tag{17}$$
当 $s>0$ 时，$\displaystyle\int_{0}^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx$ 收敛. 称之为 $\Gamma$ 函数.
或者可以写成
$$\Gamma(s)=\int_{0}^{1}(-\ln x)^{s-1}dx\tag{17-1}$$
接下来介绍 $\Gamma$ 函数的性质。

  1. （连续性）$\Gamma$ 函数在 $s>0$ 上连续.

  2. （递推性）当 $s>0$ 时，有

    1. $$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)\tag{18}$$

    2. $$\Gamma(n)=(n-1)!\tag{19}$$

      于是我们得到了计算更一般的阶乘的算法。
    3. $$\text{于是有：}\Gamma(1)=\Gamma(2)=1,\ \ \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\tag{20}$$

$\text{B}$ 函数（第一类 $\text{Euler}$ 积分）

对于积分
$$\text{B}(p,q)=\int_{0}^{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx\tag{20}$$
当 $p>0,q>0$ 时，收敛，称为 $\text{B}$ 函数.
下面介绍 $\text{B}$ 函数的性质。

  1. （连续性）$\text{B}$ 在 $p>0,q>0$ 上连续.

  2. （$\text{B}$ 函数与 $\Gamma$ 函数的关系）$$\text{B}(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}\quad(p>0,q>0)\tag{21}$$ $$\text{于是有：}\text{B}(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\pi$$

    一般数学手册中均有 $\Gamma$ 函数表，通过（21）式可以得到 $\text{B}$ 函数的函数值。