三重积分的概念
（定义）设 $f(x,y,z)$ 是定义在有界闭区域 $\Omega\in\mathbb{R}^{3}$ 上的有界函数. 将 $\Omega$ 任意分割成 n 个小闭区域
$$\Delta V_{1},\Delta V_{2},\cdots,\Delta V_{n},$$
其中 $\Delta V_{i}$ 既表示第 i 个小闭区域，也表示其体积，且任意两个小区域除边界外无公共点. 任取一点 $(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})\in\Delta V_{i}$，求和
$$\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})\Delta V_{i}$$
以 $d_{i}$ 表示 $\Delta V_{i}$ 的直径，取 $d=\underset{1\leqslant i\leqslant n}{\max}\{d_{i}\}$，若极限
$$\lim_{d\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})\Delta V_{i}\tag{1}$$
存在，并且此极限与 $\Omega$ 的分割方法及 $(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})$ 的选取无关，则称（1）为 $f(x,y,z)$ 在区域 $\Omega$ 上的三重积分，将（1）式记作
$$\underset{\Omega}{\iiint}f(x,y,z)dV\tag{2}$$
- 在直角坐标系中，体积元素 $dV$ 可以写作 $dxdydz$.
- 于是，非均匀密度物体的质量可以写作$$m=\underset{\Omega}{\iiint}\rho(x,y,z)dV\tag{3}$$
- （定理）当 $f(x,y,z)\in C(\Omega)$ 时，$f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上可积。
- （性质）$\displaystyle\underset{\Omega}{\iiint}dV=V(\Omega)$
- （其他三重积分的性质与二重积分的性质完全类似）
在直角坐标下计算三重积分
接下来笔者将不加证明地叙述在直角坐标系下化三重积分为定积分和二重积分的方法。
“先一后二法”
先计算一次定积分，后计算一次二重积分的方法。
若用此方法，我们先把积分区域表示为
$$\Omega=\{(x,y,z)|z_{1}(x,y)\leqslant z\leqslant z_{2}(x,y),(x,y)\in D_{xy}\}\tag{4}$$
此时称 $\Omega$ 为 xy 型域，其中 $D_{xy}$ 是 $\Omega$ 在 Oxy 坐标面上的投影域，故此方法又称投影法。
类似地可以定义 yz 型域和 zx 型域。
故，若被积函数 $f(x,y,z)$ 在 xy 型域 $\Omega$ 上连续，三重积分的计算方法为
$$\underset{\Omega}{\iiint}f(x,y,z)dV=\underset{D_{xy}}{\iint}d\sigma\int_{z_{1}(x,y)}^{z_{1}(x,y)}f(x,y,z)dz\tag{5}$$
“先二后一法”
若先对 z 积分比较麻烦，若积分区域 $\Omega$ 可以表示为
$$\Omega=\{(x,y,z)|(x,y)\in D_{z},p\leqslant z \leqslant q\}\tag{6}$$
其中 $D_{z}$ 是平面 $z=z$ 截 $\Omega$ 得到的平面区域（故又称截面法），则有
$$\underset{\Omega}{\iiint}f(x,y,z)dxdydz=\int_{p}^{q}dz\underset{D_{z}}{\iint}f(x,y,z)dxdy\tag{7}$$
"三次积分法"
如果积分区域 $\Omega$ 是 xy 型域，
$$\Omega=\{(x,y,z)|z_{1}(x,y)\leqslant z\leqslant z_{2}(x,y),(x,y)\in D_{xy}\}\tag{8}$$
且 $D_{xy}$ 是 Oxy 面上的 x 型域，
$$D_{xy}=\{(x,y)|y_{1}(x)\leqslant y \leqslant y_{2}(x),a\leqslant x \leqslant b\}\tag{9}$$
则有
$$\underset{\Omega}{\iiint}f(x,y,z)dxdydz=\int_{a}^{b}dx\int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}dy\int_{z_{1}(x,y)}^{z_{2}(x,y)}f(x,y,z)dz\tag{10}$$
三重积分的换元法
（定理）设 $\Omega$ 是 Oxyz 坐标系中的有界闭区域，函数 $f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上连续，$\Omega'$ 是 $O'uvw$ 坐标系中的有界闭区域，作变换
$$\begin{cases}
x=x(u,v,w)\\
y=y(u,v,w)\\
z=z(u,v,w)
\end{cases} \ \ ,(u,v,w)\in\Omega'\tag{11}$$
其中 $x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)\in C^{(1)}(\Omega')$，若通过上述变换将 $\Omega'$ 一一对应到 $\Omega$，且 Jacobi 行列式
$$J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}=\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial x}{\partial w}\\
\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial w}\\
\frac{\partial z}{\partial u}&\frac{\partial z}{\partial v}&\frac{\partial z}{\partial w}
\end{vmatrix}\not=0,\ (u,v,w)\in\Omega'\tag{12}$$
则有三重积分的变换公式
$$\underset{\Omega}{\iiint}f(x,y,z)dxdydz=\underset{\Omega'}{\iiint}F(u,v,w)|J|dudvdw\tag{13}$$
其中 $F(u,v,w)=f\left(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w) \right)$
在柱坐标系下计算三重积分
柱面坐标变换
$$\begin{cases}
x=r\cos\theta\\
y=r\sin\theta\\
z=z
\end{cases}\tag{14}$$
在柱面坐标变换下，$Jacobi$ 行列式为
$$J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}=\begin{vmatrix}
\cos\theta&-r\sin\theta&0\\
\sin\theta&r\cos\theta&0\\
0&0&1
\end{vmatrix}=r\tag{15}$$
故，若 $f(x,y,z)$ 在有界闭区域 $\Omega$ 上连续，且在坐标变换下将 $\Omega$ 变成 $\Omega'$，则三重积分可化为
$$\underset{\Omega}{\iiint}f(x,y,z)dxdydz=\underset{\Omega'}{\iiint}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)rdrd\theta dz\tag{16}$$
提醒：上述 $\Omega$ 与 $\Omega'$ 是同一区域在不同坐标系下的不同记号。
一般地，若被积函数可以化为 $\varphi(x^{2}+y^{2},z)$ 的形式，而积分区域 $\Omega$ 是以 z 轴为轴的旋转体的一部分时，用柱面坐标系计算可能较为简捷。
在球面坐标系下计算三重积分
定义 $(r,\theta,\varphi)$ 为点 $M$ 的球面坐标，其中 $r$ 表示点M到原点的距离；$\theta$ 表示“x轴正向”与“$\overrightarrow{OM}$ 在 Oxy 面的投影向量”按逆时针的夹角；$\varphi$ 表示“z轴正向”与“$\overrightarrow{OM}$正向”的夹角。
（球面坐标变换）点 M 的直角坐标 $(x,y,z)$ 与球面坐标 $(r,\theta,\varphi)$ 之间的关系是
$$\begin{cases}
x=r\sin\varphi\cos\theta\\
y=r\sin\varphi\sin\theta\\
z=r\cos\varphi
\end{cases}\tag{17}$$
其中，$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.$
球面坐标变换下的 Jacobi 行列式为
$$\begin{aligned}J&=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta,\varphi)}\\
&=\begin{vmatrix}
\sin\varphi\cos\theta &-r\sin\varphi\sin\theta &r\cos\varphi\cos\theta\\
\sin\varphi\sin\theta &r\sin\varphi\cos\theta &r\cos\varphi\sin\theta\\
\cos\varphi &0&-r\sin\varphi
\end{vmatrix}\\
&=-r^{2}\sin\varphi
\end{aligned}\tag{18}$$
从而，$|J|=r^{2}\sin\varphi.$
故，若 $f(x,y,z)$ 在有界闭区域 $\Omega$ 上连续，且在球面坐标变换下将 $\Omega$ 变换为 $\Omega'$，根据“三重积分换元法”，则有
$$\underset{\Omega}{\iiint}f(x,y,z)dxdydz=\underset{\Omega}{\iiint}F(r,\theta,\varphi)\cdot r^{2}\sin\varphi\cdot drd\theta d\varphi\tag{19}$$
其中，$F(r,\theta,\varphi)=f(r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi).$
一般地，当被积函数可以写成 $\varphi(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ 的形式，且积分区域为球形区域或者其一部分时，用球面坐标系计算可能较为简捷。
小结
本文简要介绍了三重积分的概念和计算方法，并讨论了三重积分的换元公式在不同坐标系中的应用。
