光滑曲线与光滑曲面

  • 当空间曲线由参数方程给出时：

$$\begin{cases}
x=x(t)\\
y=y(t)\\
z=z(t)
\end{cases}$$

若 $x'(t_{0}),y'(t_{0}),z'(t_{0})$ 连续（即$C^{(1)}$类函数），且不同时为零，则该曲线是光滑曲线。
光滑曲线在任意一点都有切线，切线随切点的移动连续变动。

  • 当曲面由方程
    $$F(x,y,z)=0$$
    给出时，若偏导
    $$F_{x,}F_{y},F_{z}$$
    连续（即$C^{(1)}$类函数），且不同时为零，则该曲面是光滑曲面。
    光滑曲面在任意一点都有切平面和法线，法线随切点的移动连续变动。

空间曲线的切线和法平面

我们把割线的极限位置定义为切线。
我们把过某一点且与该点切线垂直的平面定义为法平面。
情形 1
参数形式的空间曲线 $\Gamma$
$$\begin{cases}
x=x(t) \\
y=y(t) \\
z=z(t)
\end{cases}$$
取 $t=t_{0}$ 时 $\Gamma$ 上一点 $M(x_{0},y_{0},z_{0})$，该点处的切向量
$$\vec{s}=(x'(t_{0}),y'(t_{0}),z'(t_{0}))$$
由直线的点向式方程，得到切线
$$\frac{x-x_{0}}{x'(t_{0})}=\frac{y-y_{0}}{y'(t_{0})}=\frac{z-z_{0}}{z'(t_{0})}$$
由平面的点法式方程，得到法平面
$$x'(t_{0})(x-x_{0})+y'(t_{0})(y-y_{0})+z'(t_{0})(z-z_{0})=0$$

情形 2
圆柱交线形式的空间曲线 $\Gamma$
$$\begin{cases}
y=y(x) \\
z=z(x)
\end{cases}$$
其中，$y,z$ 是 $x$ 的函数。
我们可以取 $x$ 为参数，就得到 $\Gamma$ 的参数方程
$$\begin{cases}
x=x \\
y=y(x)\\
z=z(x)
\end{cases}$$
根据情形 1 的结论，曲线 $\Gamma$ 在点 $M_{0}$ 处的切向量为
$$\vec{s}=(1,y'(x_{0}),z'(x_{0}))$$
切线为
$$\frac{x-x_{0}}{1}=\frac{y-y_{0}}{y'(x_{0})}=\frac{z-z_{0}}{z'(x_{0})}$$
法平面为
$$(x-x_{0})+y'(x_{0})(y-y_{0})+z'(x_{0})(z-z_{0})=0$$

情形 3
一般式方程形式的空间曲线 $\Gamma$
$$ \begin{cases}
F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0
\end{cases}$$

取 $\Gamma$ 上一点 $M(x_{0},y_{0},z_{0})$ ，函数 $F、G$ 在 $M_{0}$ 的某邻域内是 $C^{(1)}$ 类函数，且在该点的 Jacobi 行列式不全为零，设
$$m=\left.\begin{matrix} \frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}\end{matrix}\right|_{M_{0}},n=\left.\begin{matrix} \frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}\end{matrix}\right|_{M_{0}},p=\left.\begin{matrix} \frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}\end{matrix}\right|_{M_{0}}$$

不妨设$J=m\neq0$，（则隐函数存在定理成立，则可以将y，z看作x的函数）由隐函数存在定理，所给方程组在点 $M_{0}$ 的某个邻域内唯一确定一组隐函数 $y=y(x),z=z(x)$， 并且
$$\begin{equation} \begin{aligned}
y'(x_{0})&=-\frac{1}{J}\left.\begin{matrix} \frac{\partial(F,G)}{\partial(x,z)}\end{matrix}\right|_{M_{0}}=-\frac{\left.\begin{matrix} \frac{\partial(F,G)}{\partial(x,z)}\end{matrix}\right|_{M_{0}}}{\left.\begin{matrix} \frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}\end{matrix}\right|_{M_{0}}}=\frac{\left.\begin{matrix} \frac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)}\end{matrix}\right|_{M_{0}}}{\left.\begin{matrix} \frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}\end{matrix}\right|_{M_{0}}}=\frac{n}{m}
\end{aligned} \end{equation}$$
同理，$$z'(x_{0})=\frac{\left.\begin{matrix} \frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y)}\end{matrix}\right|_{M_{0}}}{\left.\begin{matrix} \frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}\end{matrix}\right|_{M_{0}}}=\frac{p}{m}$$
根据情形 2 的结论，曲线 $\Gamma$ 在点 $M_{0}$ 的切向量为
$$\begin{equation} \begin{aligned}
\vec{s}&=(1,y'(x_{0}),z'(x_{0}))=(1,\frac{n}{m},\frac{p}{m})
\end{aligned} \end{equation}$$
所以 $\vec{s}$ 可写作 $(m,n,p)$ .

切向量还可以用行列式表示，更便于记忆
$$\vec{s}=\begin{vmatrix}
\vec{i} &\vec{j} & \vec{k} \\
F_{x}&F_{y} & F_{z} \\
G_{x} &G_{y} & G_{z}
\end{vmatrix}_{M_{0}}$$

切线为
$$\frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p}$$
法平面为
$$m(x-x_{0})+n(y-y_{0})+p(z-z_{0})=0$$

曲面的切平面与法线

情形 1
曲面 $\Sigma$ 由隐式给出
$$F(x,y,z)=0$$
设 $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ 为曲线上一点，并且函数 $F$ 在点 $M_{0}$ 的某邻域内是 $C^{(1)}$ 类函数，并且 $F_{x}(M_{0}),F_{y}(M_{0}),F_{z}(M_{0})$ 不同时为零。

  • （定理）曲面 $\Sigma$ 在 $M_{0}$ 点处的法向量 $\vec{n}$ 恰好是函数 $F$ 在 $M_{0}$ 点处的梯度 $$\begin{equation} \begin{aligned}\vec{n}&=\vec{\nabla}F(M_{0})\\&=(F_{x}(M_{0}),F_{y}(M_{0}),F_{z}(M_{0})) \end{aligned} \end{equation}$$
  • （定理）在曲面 $\Sigma$ 上过 $M_{0}$ 点任意取一条曲线 $\Gamma$ ，设该曲线的方向向量为 $\vec{s}$ ，则$$\vec{s}\perp\vec{n}$$
  • 曲面 $\Sigma$ 在 $M_{0}$ 点处的切平面为 $$F_{x}(M_{0})(x-x_{0})+F_{y}(M_{0})(y-y_{0})+F_{z}(M_{0})(z-z_{0})=0$$
  • 曲面 $\Sigma$ 在 $M_{0}$ 点处的法线为 $$\frac{x-x_{0}}{F_{x}(M_{0})}=\frac{y-y_{0}}{F_{y}(M_{0})}=\frac{z-z_{0}}{F_{z}(M_{0})}$$

情形 2
曲面 $\Sigma$ 由显式给出
$$z=f(x,y)$$
设 $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ 为曲线上一点，并且函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_{0},y_{0})$ 的某邻域内是 $C^{(1)}$ 类函数。
我们试图把情形 2转化成情形 1.
曲面 $\Sigma$ 可写成 $f(x,y)-z=0$ ，所以令 $F(x,y,z)=f(x,y)-z$. 由情形 1 的结论，可得

  • 曲面 $\Sigma$ 在 $M_{0}$ 点处的法向量为 $$\vec{n}=(f_{x}(x_{0},y_{0}),f_{y}(x_{0},y_{0}),-1);$$
  • 切平面方程为 $$f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})+(-1)(z-z_{0})=0$$
  • 法线方程为 $$\frac{x-x_{0}}{f_{x}(x_{0},y_{0})}=\frac{y-y_{0}}{f_{y}(x_{0},y_{0})}=\frac{z-z_{0}}{f_{z}(M_{0})}$$
（定义）两个曲面在同一点处由相同的切平面，则两曲面相切。

情形 3

曲面 $\Sigma$ 由参数方程给出
$$ \begin{cases}
x=x(u,v) \\ y=y(u,v)
\\ z=z(u,v)
\end{cases}$$
设 $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ 为曲线上一点（对应于参数$u=u_{0},v=v_{0}$ .） 并且函数 $x,y,z$ 在点 $P_{0}(u_{0},v_{0})$ 的某邻域内是 $C^{(1)}$ 类函数，并且
$$\begin{vmatrix}
\vec{i} &\vec{j} & \vec{k} \\
x_{u}&y_{u} & z_{u} \\
x_{v} &y_{v} & z_{v} \
\end{vmatrix}_{P_{0}}=(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)},\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)},\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)})|_{P_{0}} \neq 0 .$$

则我们有
记 $$A=\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}|_{P_{0}},B=\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}|_{P_{0}},C=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|_{P_{0}},$$
不妨设 $C\neq 0$，由隐函数存在定理，方程组
$$x=x(u,v),y=y(u,v)\tag{1}$$ 可以在点 $x_{0},y_{0},u_{0},v_{0}$ 的某邻域内可以唯一确定一组隐函数
$$u=u(x,y),v=v(x,y)\tag{2}$$
对方程组（1）求偏导
对x：
$$\begin{cases}
1=x_{u}u_{x}+x_{v}v_{x}\\ 0=y_{u}u_{x}+y_{v}v_{x}
\end{cases}$$

此时我们回顾一下Cramer法则
对于线性方程组
$$\begin{cases}
b_{1}=a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}\\
b_{2}=a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}
\end{cases}$$
且系数行列式$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12} \\a_{21}&a_{22} \\\end{vmatrix}\neq0$
则，解为
$$x_{1}=\frac{D_{1}}{D},x_{2}=\frac{D_{2}}{D}$$
其中$D_{1}=\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12} \\b_{2}&a_{22} \\\end{vmatrix},D_{2}=\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1} \\a_{21}&b_{2} \\\end{vmatrix}.$

在此处$D=\begin{vmatrix}x_{u}&x_{v} \\y_{u}&y_{v} \\\end{vmatrix}=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=C$，
则由Cramer法则
$$u_{x}=\frac{y_{v}}{C},v_{x}=-\frac{y_{u}}{C}.$$
同理，对y求导，可得
$$u_{y}=-\frac{x_{v}}{C},v_{y}=\frac{x_{u}}{C}.$$
将（2）带入 $z=z(x,y)$ 可得
$$z=z(u(x,y),v(x,y))\tag{3}$$
在（3）式中对x，y在点 $(x_{0},y_{0})$ 处求偏导，并化简，可得
$$z_{x}=-\frac{A}{C},z_{y}=-\frac{B}{C}$$
由情形 2 得结论，曲面 $\Sigma$ 在点 $M_{0}$ 处的法向量为$(z_{x},z_{y},-1)=(-\frac{A}{C},-\frac{B}{C},-1),$
可写作$$\vec{n}=(A,B,C)$$
切平面为
$$A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0$$
法线为
$$\frac{x-x_{0}}{A}=\frac{y-y_{0}}{B}=\frac{z-z_{0}}{C}$$